Областная олимпиада по математике, 2008 год, 10 класс

Последовательность $(a_n )_{n \geq 0}$ определена следующим образом: $a_0=3$ и $a_n = 2 + a_0 a_1 \dots a_{n - 1}$ для $n \geq 1$.
а) Докажите, что любые два члена этой последовательности являются взаимно простыми натуральными числами
б) Определите $a_{2008}$.

Комментарий/решение

Каждое число из последовательности а(n) может быть представленно как:

2^(2^(k+1)) + 1 где k натуральное число или ноль

Доказательство:

a(n+1)=2+a(n)(a(n)-2)

представим что a(n) равно 2^(s)+1 тогда

a(n+1)= 2^(2s)+1

следовательно если самый первый член последовательности прелставим в виде

2^(2^(k+1)) где k натуральное число или ноль

то все остальные тоже представимы

и как видно из формулы

a(n+1)= 2^(2s)+1

степень 2 увеличивается в два раза с каждым последующим числом

а(2008)=2^(2^(2009))+1

Из верхнего доказательства видно что все члены последовательности являются нечетными.

Теорема

Если к числу прибавить взаимно простое с ним число то получившееся число будет взаимно просто с исходным и следовательно с любым из его множителей.

возьмем два числа из последовательности a(n), a(k)

k<n ==> a(n)=2+a(k)a(0)a(1)a(2)...a(n-1)

2 взаимно просто с любым из чисел в последовательности a следовательно он взаимно просто с любым его произведением. Согласно вышеописанной теореме a(n) взаимно просто с a(k)