Областная олимпиада по математике, 2008 год, 11 класс

Докажите, что существует бесконечное число натуральных значений $n$, для каждого из которых $n!$ делится нацело на $n^2+1$.

Комментарий/решение

Если $n=2m^2$

$n^2+1=4m^4+1=(2m^2+1)^2-(2m)^2$

Продолжу решения. Если $m=5k+1$: $n^2+1=(2m^2-2m-1)(2m^2+2m+1)$, так как$2m^2-2m+1<2m^2$ оно делится на $n!$, $2m^2+2m+1$ делится на 5, и $(2m^2+2m+1):5<2m^2$.