Областная олимпиада по математике, 2010 год, 9 класс

Имеется 100 шашек с разноцветными сторонами: одна сторона каждой шашки имеет синий цвет, а другая — красный (как для игры в реверси). Любое расположение этих шашек по одному на вершинах правильного 100-угольника назовем $\it{конфигурацией}$. За один ход разрешается переворачивать три рядом стоящие шашки. Сколько различных конфигураций шашек можно получить из фиксированной начальной применением конечного числа ходов (две конфигурации считаются различными, если они отличаются цветом шашки хотя бы в одной вершине)?

Комментарий/решение

Пронумеруем все шашки от $1$ до $100$ заметим мы за $67$ ходов сможем перевернуть одну шашку и остальные оставить в прежнем положении тогда .Допустим хотим перевернуть шашку с номером $1$ Заметим мы эту шашку перевернем $3$ раза а другие $2$ раза .Если мы смогли перевернут одну шашку то сможем все остальные откуда ответ $2^{100}$