Областная олимпиада по математике, 2011 год, 10 класс

Для каждого натурального $n\geq 2$ найдите вес вещественные решения системы: $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x_1|x_1| & = & x_2|x_2|+(x_1-1)|x_1-1|, \\ x_2|x_2| & = & x_3|x_3|+(x_2-1)|x_2-1|, \\ & \dots & \\ x_n|x_n| & = & x_1|x_1|+(x_n-1)|x_n-1|. \\ \end{array} \right. $$

Комментарий/решение

$$ x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}=(-\infty, 0] \cup (0,1] \cup (1,+\infty)$$

$$ \color{red}{ 1) \quad x_1,x_2,...,x_n \in (-\infty, 0]: \quad \begin{cases} -x_1^2=-x_2^2-(x_1-1)^2 \\ -x_2^2=-x_3^2-(x_2-1)^2\\ ... \\-x_n^2=-x_1^2-(x_n-1)^2\end{cases} \Rightarrow}$$

$$ \color{red}{\Rightarrow \begin{cases} x_2^2-2x_1+1=0 \\x_3^2-2x_2+1=0 \\ ... \\x_1^2-2x_n+1=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x_1=\frac{x_2^2+1}{2}\geq 0 \\x_2=\frac{x_3^2+1}{2}\geq 0 \\ ... \\x_n=\frac{x_1^2+1}{2}\geq 0 \end{cases}\Rightarrow x_1,x_2,...,x_n \in\varnothing} $$

$$ \color{green}{ 2) \quad x_1,x_2,...,x_n \in (0,1]: \begin{cases} x_1^2=x_2^2-(x_1-1)^2 \\ x_2^2=x_3^2-(x_2-1)^2\\ ... \\x_n^2=x_1^2-(x_n-1)^2\end{cases} \Rightarrow \sum_{i=1}^n(x_i-1)^2=0 \Rightarrow x_1=x_2=...=x_n=1}$$

$$ \color{blue}{ 1) \quad x_1,x_2,...,x_n \in (1,+\infty): \quad \begin{cases} x_1^2=x_2^2+(x_1-1)^2 \\ x_2^2=x_3^2+(x_2-1)^2\\ ... \\x_n^2=x_1^2+(x_n-1)^2\end{cases} \Rightarrow}$$

$$ \color{blue}{\Rightarrow \begin{cases} x_2^2-2x_1+1=0 \\x_3^2-2x_2+1=0 \\ ... \\x_1^2-2x_n+1=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x_1=\frac{x_2^2+1}{2}\\x_2=\frac{x_3^2+1}{2} \\ ... \\x_n=\frac{x_1^2+1}{2} \end{cases}}$$

$$ \color{blue}{f(t)=\frac{t^2+1}{2}:(1,+\infty)\rightarrow \mathbb{R} \Rightarrow \begin{cases} x_1=\underbrace{f(f(...f(}_n x_1)...)) \\ x_2=\underbrace{f(f(...f(}_{n-1} x_1)...))\\ ... \\x_{n-1}=f(x_n)=f(f(x_1)) \\x_n=f(x_1)\end{cases}} $$

$ \textbf{Теорема.}$ Если $f(t)$ – монотонно возрастающая функция, то уравнения $f(t)=t$ и $\underbrace{f(...f(}_n t))=t, \quad n=2,3,...$ эквивалентны.

Рассмотрим на интервале $(1,+\infty)$ функцию $f(t)=\frac{t^2+1}{2}$. На интервале $(1,+\infty)$ функция $f(t)$ монотонно возрастает, следовательно,

$$ x_1=\underbrace{f(f(...f(}_n x_1)...)) \Leftrightarrow f(x_1)=x_1 \Rightarrow (x_1-1)^2 =0\Rightarrow x_1=1 \Rightarrow x_1=...=x_n=1 \notin (1,+\infty) $$

$$ \mathbb{OTBET:} x_k=1, \quad k=\overline{1,n}$$

Ты рассмотрел только некоторые случаи. Есть же случай например: $x_{1}\in(-\infty;0], x_{2},...,x_{n}\in(0;1]$.