Областная олимпиада по математике, 2012 год, 9 класс

Вычислите значение выражения: $(1+{\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} 1^\circ)(1+{\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} 2^\circ)\dots (1+{\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} 44^\circ)$.

Комментарий/решение

Положим что произведение $cos 1^\circ \cdot cos2^\circ \cdot cos3^\circ \cdot ... \cdot cos44^\circ=X$ , получим

$(1+tg1^\circ)(1+tg2^\circ)...(1+tg44^\circ)=\dfrac{2^{44} \cdot (cos(\dfrac{\pi}{4}))^{44} \cdot X}{X}=2^{22}$

Основная идея - разбиение на пары:

\[(1+\tan(\alpha))(1+\tan(\frac{\pi}{4}- \alpha)) = (1+\tan(\alpha))(1+\frac{1-\tan(\alpha)}{1+\tan(\alpha)}) = 2\]

Используя вышеуказанное тождество, не трудно понять, что искомое значение равно $2^{22}.$

tan - одно из обозначений тангенса.

Групируем первую с последней скобкой, и так далее, в общем получаеться 22 пары;

Находим значение каждой пары, пример: $(1 + \tan{1°})(1 + \tan{44°}) = 1 + \tan{1°} + \tan{44°} + \tan{1°} \cdot \tan{44°}$

$(!)$

Теперь так:

$\tan{45°} = \tan{(1 + 44)} = \dfrac{( \tan{1°} + \tan{44°})}{(1 – \tan{1°} \cdot \tan{44°})} = 1$

$\Rightarrow$

$ \tan{1°} + \tan{44°} = 1 – \tan{1°} \cdot \tan{44°}$ $\Rightarrow$

$ \tan{1°} + \tan{44°} + \tan{1°} \cdot \tan{44°} = 1$ $\Rightarrow$

$(!) = (1 + \tan{1°})( 1 + \tan{44°}) = 2$

И так как у нас таких есть 22 пар, то и ответ будет: $2^{22}$

Хочу здесь подметить, почему же мы взяли $\tan(1 + 44)$ как выше показаная формула, у нас есть как бы сказать, правило, что можно $\tan{( t + s)}$ расписать как: $ \tan{( t + s)} = \dfrac{ \tan({t})+ \tan({s})}{ 1 – \tan({t}) \cdot \tan(s)}$