Областная олимпиада по математике, 2012 год, 11 класс


Функция $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, где $\mathbb{R}$ обозначает множество действительных чисел, удовлетворяет при всех действительных $x$ условию $$ f(f(x))={{x}^{2}}f(x)-x+1. $$ Найдите $f(1)$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  -1
2016-02-24 03:45:30.0 #

$f(x)=1, f(1)=x^2-x+1$, $f(x)=2,f(2)=2x^2-x+1 ... \ \ f(x)=n,f(n)=nx^2-x+1$ то есть получим что $nx^2-x+1=n$ , $x=1,x=\dfrac{1-n}{n}$. Значит $f(1)=1$

  3
2019-01-15 00:12:53.0 #

В этой задаче не дано что этапа функция сюръективна.

  -1
2019-01-15 01:13:57.0 #

Да, вы правы, надо удалить.

пред. Правка 2   1
2021-02-24 22:11:23.0 #

$Ответ: f(1)=1; (-1$$\pm $$\sqrt{5})/2$

Если $x=1$, тогда $f(f(1))=f(1)$. Если $x=f(1)$, тогда, $f(1)=f(1)^3-f(1)+1$ Или $0=(f(1)-1)(f(1)^2+f(1)-1)$.

  1
2021-02-23 16:25:57.0 #

А что если f(a)(a + b) = 1 ?

  1
2021-02-24 22:02:05.0 #

Моё решение не правильно, сейчас исправлю.