Областная олимпиада по математике, 2012 год, 11 класс

Функция $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, где $\mathbb{R}$ обозначает множество действительных чисел, удовлетворяет при всех действительных $x$ условию $$ f(f(x))={{x}^{2}}f(x)-x+1. $$ Найдите $f(1)$.

Комментарий/решение

$f(x)=1, f(1)=x^2-x+1$, $f(x)=2,f(2)=2x^2-x+1 ... \ \ f(x)=n,f(n)=nx^2-x+1$ то есть получим что $nx^2-x+1=n$ , $x=1,x=\dfrac{1-n}{n}$. Значит $f(1)=1$

В этой задаче не дано что этапа функция сюръективна.

Да, вы правы, надо удалить.

$Ответ: f(1)=1; (-1$$\pm $$\sqrt{5})/2$

Если $x=1$, тогда $f(f(1))=f(1)$. Если $x=f(1)$, тогда, $f(1)=f(1)^3-f(1)+1$ Или $0=(f(1)-1)(f(1)^2+f(1)-1)$.

А что если f(a)(a + b) = 1 ?

Моё решение не правильно, сейчас исправлю.