Областная олимпиада по математике, 2013 год, 9 класс

a) Докажите, что существует бесконечно много натуральных $n$, таких, что каждое их числе $n$, $n+1$, $n+2$ представляется в виде суммы двух квадратов целых чисел.
б) Останется ли верным утверждение, если вместо 3 чисел рассматривать четыре числа $n-1$, $n$, $n+1$, $n+2$?

Комментарий/решение

a)

$n=4x^4+4x^2$

б)

Ясно, что среди четырёх последовательных чисел найдётся число $k$ сравнимое с 3 по модулю 4.

Квадраты чисел дают остатки 0 и 1 по модулю 4.

Поэтому их сумма не может быть равна $k$