Областная олимпиада по математике, 2013 год, 10 класс

Найдите все пятерки простых чисел $(q_1,q_2,q_3,q_4,q_5 )$, для которых число $q_1^4+q_2^4+q_3^4+q_4^4+q_5^4$ равно произведению двух последовательных четных натуральных чисел.

Комментарий/решение

Ответ: таких пятерок не существует.

Решение. Начнем с того, что , раз правая сторона чётна, то и левая четна. Вспомним, что четвертая степень нечётного числа нечетна. Но пять нечетных чисел в сумме дадут нечетное число. Значит, среди них есть четное число. Единственное четное простое число это 2. Также вспомним, что произведение двух последовательных чисел делится на 8 (доказать этого я не могу). Это значит, что и левая часть делится на 8. Два в четвертой степени делится на 8. Значит, сумма оставшихся четырех четвертых степеней делится на 8. Четвертая степень простого числа дает остаток 1 по модулю 8. А это значит, что левая часть не делится на 8

b_Лемма 1._b Произведение двух последовательных четных чисел делится на 8.

$\square$ Пусть $2n$ и $2(n+1)$ - два последовательных четных числа, тогда получим, $2n\cdot 2(n+1)=4n(n+1)$. Так как $n$ и $n+1$ - два последовательных числа, то $2 \mid n(n+1)$, значит $8\mid 2n\cdot 2(n+1)$. $\blacksquare$

b_Лемма 2._b $p^4 \equiv 1 \pmod{8}$, где $p\geqslant 3$ - простое число.

$\square$ Так как $(p,8)=1$, то по теореме Эйлера получим, $p^{\phi(8)} \equiv 1 \pmod{8}$ или $p^4 \equiv 1 \pmod{8}$. $\blacksquare$

Перенесите пожалуйста Ваше решение в отдельный комментарий нажав кнопку "Добавить". Напоминаем, что комментарии не имеющего смысла будут удаляться. Поэтому Ваше верное решение, оставленное в "Ответе" также может удалится.

Среди двух последовательных четных чисел одно делится на 2, одно на 4, поэтому их произведение делится на 8.

Четвертая степень нечетного числа дает остаток 1, а четного 0, при делении на 8. Поэтому данная сумма в задаче может давать остатки только от 0 до 5, при делении на 8. При этом, остаток 0 возможен только при ${{q}_{1}}={{q}_{2}}={{q}_{3}}={{q}_{4}}={{q}_{5}}=2$, так как среди четных чисел только 2 является простым. Получатся, $q_{1}^{4}+q_{2}^{4}+q_{3}^{4}+q_{4}^{4}+q_{5}^{4}=5\cdot 16=80=8\cdot 10$.

пусть эти числа $a,b,c,d,e$ тогда логично что нечетных чисел четное колво пусть все числа равны двум тогда понимаем что будет равно произведению $10*8$ допустим только 3 числа двум тогда 48+$a^4$+$b^4$=$4x^2$+$4x$ т.к. $16+ $a^4$+$b^4$ \equiv 2 \pmod {4}$

т.к. a и b простые ,тогда таких a и b нету отсюда понимаем что есть только одно чет 16+$a^4$+$b^4$+$c^4$+$d^4$ = 4$x^2$+4x $

$16+$a^4$+$b^4$+$c^4$+$d^4$\equiv 4 \pmod {8} $ т.к a,b,c и d простые

отсюда понимаем что такик Х нету значит только один ответ где все они равны 2