Областная олимпиада по математике, 2013 год, 10 класс

Последовательность вещественных чисел $u_1,u_2, \dots $ удовлетворяет условиям $u_1=1$ и $u_n=\dfrac{1}{u_1+ \dots +u_{n-1}}$ при $n>1$. Докажите, что существует такое натуральное $N$, что $u_1+u_2+ \dots +u_N>2013$.

Комментарий/решение

Пусть для всех $n$ сумма $u_1+...+u_n\le 2013$. Тогда $u_n=\frac{1}{u_1+...+u_{n-1}}\ge \frac{1}{2013}$. Следовательно уже сумма $u_n+u_{n+1}...+u_{n+2014^2}$ (то есть $2014^2$ последовательных членов) будет не меньше $2014^2 \cdot \frac{1}{2013}$, что больше 2013.