Областная олимпиада по математике, 2013 год, 11 класс

Докажите, что ни при каком натуральном $n$ число $(1^4+1^2+1)(2^4+2^2+1) \dots (n^4+n^2+1)$ не является полным квадратом.

Комментарий/решение

$n^4+n^2+1=(n^2+n+1)(n^2-n+1)$ , оба множителя простые , при любых $n \in N$ . Так же отметим что у двух последующих чисел , множители совпадают , так как $(n^2+n+1)=((n+1)^2-(n+1)+1)$ (1) , то есть в итоге , число представиться в виде $((n-x)^2-(n-x)+1)*y^2*(n^2+n+1)$ , где $y^2$ произведение делителей от числа $n=1$ до $1+x$ из условия (1). Осталось доказать что $(n-x)^2-n-x)+1=n^2+n+1$ , $x=2n$, но $n>x$ , противоречие . Откуда вытекает требуемое