Областная олимпиада по математике, 2014 год, 9 класс

На прямой отмечены четыре различные точки. Для каждой из них вычисляется сумма расстояний от этой точки до трех других. Может ли в результате образоваться следующая четверка чисел?
а) 29, 29, 35, 37;
б) 28, 29, 35, 37;
в) 28, 34, 34, 37.

Комментарий/решение

Допустим есть 4 точки. A, B, C, D. AB=a. BC=b. CD=c. c>a

Для A) 3a+2b+c

Для B и С) a+2b+c

Для D) a+2b+3c

a)

3a+2b+c=35

a+2b+c=29

a+2b+3c=37

(3a+2b+c=35)-(a+2b+c=29)=(2a=6)

a=3

(a+2b+3c=37)-(a+2b+c=29)=(2c=8)

c=4

Подставляя выясняем что b=11

При проверке подходит. Но в данном наборе равны суммы расстояний точек A и В, а не B и С. Такая четверка может образоваться, но не в этой последовательности. Если последовательность не важна, то да может.

b)

Сразу видим что не подходит ибо сумма расстояний для точки В и С равны, а в данном наборе нету равных.

с)

Такие же действия как и в a) приводят нас к тому что данный набор невозможен т.к 1 из отрезком отрицательный, даже если убрать минус, то нарушится установленное нами условие с>a