Областная олимпиада по математике, 2014 год, 10 класс

Можно ли покрасить каждое натуральное число в один из трех цветов (синий, желтый и красный) так, чтобы все цвета были использованы и для любых двух чисел разного цвета их сумма была третьего цвета (отличного от цветов, в которые покрашены сами числа)?

Комментарий/решение

1. Так как по условию используются все цвета , то в искомом ряду будет хотя бы один раз использоваться любой из цветов,

2,В искомом ряду обязательно найдётся два рядом стоящие натуральные числа разных цветов,

3,В таком случае всегда можно определить цвет единицы(он отличен от двух рядом стоящих чисел

разных цветов)

4,Раз так , можно в общем виде показать участок ряда, где встречаются эти два числа

Пусть n-некоторое натуральное число. Не нарушая общности предположим что n - красное число и

n-1 синего цвета. Тогда 1- желтого цвета, Двигаясь от n до 1 , красные и синие числа будут чередоваться. В конце концов получим, что 1- красное или синее. Получили противоречие.А раз так

то так покрасить натуральные числа нельзя

Ответ: нельзя

Если формулы будете заключать между \$ \$ то они будут намного красивее. Подробное описание здесь.

Без ограничения общности, пусть число $1$ будет синим. Так как используются все цвета, то найдется число $n$, не синего цвета, допустим желтого цвета. Тогда $(n+1)$-красное число. А $(n+1)+1$-будет желтого цвета. Следовательно, можно сказать что все числа больше $n$ будут либо желтыми либо красными. Но число $n$(желтый)+$(n+1)$(красный)$=2n+1>n$ должно быть синего цвета. Противоречие.

Ответ: Нельзя.