Республиканская олимпиада по математике, 1999 год, 9 класс

Два ученика по очереди заменяют знак «$\cdot$» на знак «$+$» или «$-$» в выражении $1\cdot 3\cdot3^2\cdot3^3\cdot \ldots \cdot3^{1999}$. Цель второго ученика — в итоге получить число, делящееся на 11. Сможет ли первый ученик помешать ему в этом?

Комментарий/решение

По модули 11, в начале у нас имееются остатки 1,3,4,5,9 каждый по 400 штук (считая и число 1).

Чисел 2000; знаков 1999, начинает и заканчивает первый игрок.

Соответсвенно первый выбирает любой знак, и ходит второй.

Дальше первый ходит противоположно 2-му, отнимая или прибавляя число того же остатка по модули 11, что бы остаток при первом числе остался.

Заметим, что чисел $2000$, а ходов - $1999$, начинает первый. Как бы они не ходили, рассмотрим последний ход. Пусть $X$ - сумма всех полученных чисел, кроме последнего (даже если стоит минус, будем считать как суммируем отрицательное число). В конце первый игрок решает ставить либо $x+3^a$, либо $x-3^a$. Легко заметить, что оба числа не могут одновременно делиться на $11$, иначе $2*3^a$ делится на $11$, противоречие, поэтому $1$-ый игрок может выбрать операцию, что не делится на $11$