Республиканская олимпиада по математике, 1999 год, 9 класс

Найдите все попарно различные цифры $a$, $b$, $c$, $d$ удовлетворяющее уравнению $\overline{abccba}=\overline{cda}^2$.

Комментарий/решение

Так как $\overline{abccba}=100001a+10010b+1100c=11(9091a+910b+100c)$, это число делится на 11, тогда$\overline{cda}^2$ делится на 11, тогда и на 121. И заметим что $9091a+910b+100c$ делится на 11, и это число $9091а-9086a+910b-902b+100c-99c=5a+8b+c$ делится на 11. Так как $\overline{cda}$ делится на 11, то и число $100c-99c+10d+a=c+10d+a$ делится на 11. Тогда и число$5a+8b+c-(c+10d+a)=4a+8b-10d$ делится на 11. Если число и квадрат числа окончивается на одну и ту же цифру, то это цифра равняется 0,1,5,6. 0 не может быть, так как цифры $b$ и $a$ различны. Пусть $a=1$, тогда $|2+4b-5d|$ делится на 11. Тогда методом перебора подходят для пар $(b,d)$ (3,5),(4,8),(6,3),(7,6),(8,9). Аналогично вычесляем $c$ для каждых пар $(b,d)$. И при $a=5,6$ методом перебора вычесляем нужные ответы.

bruh я все это высчитывал и оказалось, что таких чисел $a,b,c,d$ нет((