Республиканская олимпиада по математике, 1999 год, 9 класс

Для любых положительных $a$ и $b$ докажите неравенство: $ \dfrac{a+\sqrt[3]{a^2b}+\sqrt[3]{ab^2}+b}{4} \leq \dfrac{a+\sqrt{ab}+b}{3}. $

Комментарий/решение

$3a+3\sqrt[3]{a^2b}+3\sqrt[3]{ab^2}+3b\leq 4a+4\sqrt{ab}+4b$

$a+b+4\sqrt{ab}\geq 3\sqrt[3]{a^2b}+3\sqrt[3]{ab^2}$

$(a+\sqrt{ab}+\sqrt{ab})+(b+\sqrt{ab}+\sqrt{ab})\geq 3(\sqrt[3]{\sqrt{a^2*a*b*a*b}}+\sqrt[3]{\sqrt{b^2*a*b*a*b}})=3(\sqrt[3]{\sqrt{a^4*b^2}}+\sqrt[3]{\sqrt{b^4*a^2}})=3\sqrt[3]{a^2b}+3\sqrt[3]{ab^2}$