Районная олимпиада, 2011-2012 учебный год, 8 класс

Натуральные числа $a$, $b$, $c$ удовлетворяют соотношению $$ abc+ab+bc+ca+a+b+c=1000. $$ Найдите сумму $a+b+c$.

Комментарий/решение

$abc+ab+bc+ac+a+b+c+1=1000+1 \Rightarrow (abc+ab)+(bc+b)+(ac+a)+(c+1)=1001\Rightarrow \\ \Rightarrow(c+1)(ab+b+a+1)=11 \cdot 7 \cdot\ 13 \Rightarrow (c+1)(b(a+1)+(a+1))=11 \cdot 7 \cdot\ 13\Rightarrow \\ \Rightarrow (c+1)(a+1)(b+1) =11 \cdot 7 \cdot\ 13 \Rightarrow a+b+c=6+10+12=28 \\ \text{Жауабы: 28}$