Республиканская олимпиада по математике, 2000 год, 11 класс


Существует ли функция $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $, удовлетворяющая следующим условиям?
1 ) $f(0) = 1$;
2) $f(x + f(y)) = f(x + y) + 1$, для всех $x, y \in \mathbb{R} $;
3) Существует рациональное, но не целое число $x_0$ такое, что $f(x_0)$ является целым.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  -1
2017-06-14 22:53:51.0 #

$$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$

$$ f(x)=h(x)+1 \Rightarrow $$ $$h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ $$1) f(0)=h(0)+1=1 \Rightarrow h(0)=0 $$

$$ 2) f(x+f(y))=f(x+y)+1 \Rightarrow h(x+h(y)+1)+1=h(x+y)+2 \Rightarrow h(x+h(y)+1)=h(x+y)+ 1$$

$$y \rightarrow -x : h(x+h(-x)+1)=h(0)+1=1$$

$$h(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}$$

$\mathbb{П}$ $\mathbb{Р}$ $\mathbb{О}$ $\mathbb{В}$ $\mathbb{Е}$ $\mathbb{Р}$ $\mathbb{К}$ $\mathbb{А}$: $$1) h(0)=0$$

$$2) h(x+h(y)+1)=h(x+y)+1 \Rightarrow x+y+1=x+y+1$$

$$ f(x)=h(x)+1=x+1$$

$$1) f(0)=0+1=1$$

$$2) f(x+f(y))=f(x+y)+1 \Rightarrow f(x+f(y))=f(x+y+1)=x+y+2=f(x+y)+1$$

$$3) x_0=\frac{m}{n}\in \mathbb {Q} \Rightarrow f(x_0)=f(\frac{m}{n})=\frac{m}{n}+1=\frac{m+n}{n} \in \mathbb {Q}\Rightarrow \nexists x_0 \in \mathbb{Q}$$

$\mathbb{O}$ $\mathbb{T}$ $\mathbb{B}$ $\mathbb{E}$ $\mathbb{T}:$ $f(x)=x+1, \forall x \in \mathbb{R}$

  0
2017-06-16 22:14:41.0 #

(m+n)/n -не целое

f(x)=x+1 не подходит...