Республиканская олимпиада по математике, 2001 год, 9 класс

Решить уравнение в вещественных числах $x^5-y^5=x^3-y^3=x-y$.

Комментарий/решение

Ответ: 1) $x=y$

2) $(-1; 0), (1; 0),(0;-1), (1;-1), (-1; 1),(0; 1) $

Решение. В начале используем равенство $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2) $ ,но по условию $x^3-y^3=x-y$ ,из чего следует $(x-y)(x^2+xy+y^2)=x-y$ или $(x-y)(x^2+xy+y^2-1)=0$

1) $x-y=0$ следовательно $x=y$

2) $x^2+xy+y^2-1=0$ следовательно $x^2+xy+y^2=1$

Также известно, что $x^5-y^5=(x-y)(x^4+\cdot{x^3}{y}+\cdot{x^2}{y^2}+\cdot{x}{y^3}+y^4) $. Исходя из $x^5-y^5=x^3-y^3$ ,получим, что $(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)=(x-y)(x^2+xy+y^2) $ или $x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4=x^2+xy+y^2$. Вспомним, что $x^2+xy+y^2=1$

$$x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4=x^2 (x^2+xy+y^2)+xy^3+y^4=x^2+xy^3+y^4$$. В итоге $x^2+xy^3+y^4=x^2+xy+y^2$ из чего следует $(x+y)( y^3-y)=0$

С учетом этого $ y=0, y=-1, y=1$. Пусть у=0, тогда $x^5=x^3=x$, из чего $ x=-1, x=0, x=1$. К такому же уравнению сведется при $ y=-1$ и $y=1$