Республиканская олимпиада по математике, 2001 год, 9 класс


Даны две окружности, которые имеют хотя бы одну общую точку. Точка $M$ называется \emph{особой}, если две различные прямые $l$ и $m$, проходящие через $M$ и образующие при пересечении прямой $l$ с первой окружностью точки $A$ и $B$, а при пересечении прямой $m$ со второй окружностью точки $C$ и $D$ такие, что получаемые четыре точки лежат на одной окружности. Найдите геометрическое место всех особых точек.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
2021-05-04 13:34:40.0 #

Админ, "$\emph{особой}$", исправьте опечатку

  0
2021-05-04 20:00:37.0 #

Вряд ли, он в ближайшие время это исправит

  0
2021-05-04 20:15:23.0 #

да и впринципе особой значимости я в этом не вижу :p

пред. Правка 2   1
2021-05-04 20:46:35.0 #

Ну в этой не значит, но например респа 2007-2008 9класс 3задача там задача не полное, а без неё невозможно решить задачу, уже 2года не исправляют.

  0
2021-05-04 20:33:40.0 #

Пусть $E,F$ точки пересечения этих окружностей (в случае касания аналогично), тогда по условию $MA \cdot MB = MC \cdot MD$ но с другой стороны $MA \cdot MB = ME \cdot MF = MC \cdot MD$ то есть степень точки $M$ относительно обеих окружностей равны, значит $M$ лежит на радикальной оси этих окружностей.