Республиканская олимпиада по математике, 2001 год, 10 класс

В окружность с центром $O$ вписан четырехугольник $ABCD$, отличный от трапеции. Пусть $M$ — точка пересечения диагоналей, $K$ — точка пересечения окружностей, описанных около треугольников $BMC$ и $DMA$, $L$ — точка пересечения окружностей, описанных около треугольников $AMB$ и $CMD$, где $K$, $L$ и $M$ различные точки. Докажите, что вокруг четырехугольника $OLMK$ можно описать окружность.

Комментарий/решение

$F= AD \cap BC$. Заметим, что прямая $ML$ разбивает угол $BLC$ на углы смежные углам $MLB$ и $MLC$, тогда $\angle BLC = \angle BAM + \angle CDM = \angle BOC$, то есть $BOLC$ вписанный четырехугольник. $\angle ALD = \angle MLA + \angle MLD = \angle ABM + \angle DCM = AOD$, тогда $AOLD$ - вписанный четырехугольник. Из этого следует, что $F$ - радикальный центр 3 окружностей: $(ABCD),(BOLC),(AOLD)$. Поэтому $FD*FA=FC*FB=FL*FO$. Но в тоже время $F$ - радикальный центр окружностей $(ABCD),(ADMK),(BCMK)$, а значит $FD*FA=FB*FC=FM*FK$, следовательно $FM*FK=FO*FL$ и $OLMK$ - вписанный.