Республиканская олимпиада по математике, 2001 год, 11 класс


Найдите все функции $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $, удовлетворяющие равенству $f(x^2-y^2)=(x-y)(f(x)+f(y))$ для любых $x, y\in \mathbb{R} $.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  -2
2017-08-10 20:41:46.0 #

Ответ:$f(x)=ax,a\in R$

Уравнение будет верно при любых $x,y$. Значит, и при $x=y$, Получаем $$f(x^2-x^2)=(x-x)(f(x)+f(x))$$. То есть $f(0)=0$. Подставим значение $y=0$, получим $f(x^2)=xf(x)$. Перепишем это так: $$f(x+...+x) =f(x)+...f(x)$$. А это функциональное уравнение Коши, решение которого линейная функция

  0
2017-08-10 21:31:31.0 #

Во первых, f(x+...+x)=f(x)+...+f(x) не равносильно f(a+b)=f(a)+f(b)

Во вторых из уравнения Коши следует что f(x)=ax для всех рациональных x, а для действительных нужно дополнительное условие...

  0
2017-08-11 22:49:32.0 #

Можете подсказать книги, по которой можно научиться решать функциональные уравнения?

  0
2017-08-13 17:14:48.0 #

Tutu andreescu, Iurie Boreico , functional equations