Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 11 класс

Докажите, что для любых действительных чисел $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_{n}$ справедливо неравенство: $$ \frac{x_1}{1+{x_1}^{2}}+\frac{x_2}{1+{x_1}^{2} +{x_2}^{2}}+\dots +\frac{x_n}{1+{x_1}^2+ \dots +{x_n}^2} < \sqrt n. $$