Республиканская олимпиада по математике, 2004 год, 9 класс

В остроугольном треугольнике $ABC$ точка $D$ является основанием высоты из вершины $C$, а $M$ — середина стороны $AB$. Прямая, проходящая через $M$, пересекает лучи $CA$ и $CB$ соответственно в точках $K$ и $L$ так, что $CK=CL$. Пусть $S$ — центр описанной окружности треугольника $CKL$. Докажите, что $SD=SM$.

Комментарий/решение

Проведем прямую $SE$, параллельную $CD$, по теореме синусов для $\triangle AKM$ получаем, что $\frac{AM}{sin \alpha}=\frac{AK}{sin \beta}$, а для $\triangle MBL$ - $\frac{MB}{sin (180-\alpha)}=\frac{BL}{sin \beta}$, отсюда следует, что $AK=BL$

Рассмотрим треугольники $AKG$ и $GBL$, они равны, так как $AK=BL, GK=GL, \angle AKG=\angle GLB=90, \Rightarrow GA=GB,$ но $AM=MG$, $\Rightarrow MG \bot AB$, тогда $MDFG$ - прямоугольник, $SG=SF$, поэтому $SE$ делит $GF$ пополам, $\Rightarrow SE$ делит и $MD$ пополам, то есть $SM=SD$