Республиканская олимпиада по математике, 2004 год, 10 класс

Определите все целые числа $m, n \geq 2$ такие, что $1+m^{3^n}+m^{2\cdot 3^n}$ делится на $n$.

Комментарий/решение

Ответ: $n=3, m \equiv 1 \ (mod {3})$.

Не трудно заметить что при

$$n | m^{2×3^n} +m^{3^n} +1, то n | m^{3^{n+1}} -1$$

Пусть $ord_{n} m=d$. Мы знаем что $d | 3^{n+1}$, тогда $d=3^k$, где $k \leq n+1$.

При $k<n+1$, мы имеем, что $d | 3^n$. Тогда, $ m^{3^n} \equiv 1\ (mod {n}) $. Но тогда $m^{2×3^n} +m^{3^n} +1 \equiv 3 \ (mod {n})$.

Следовательно, $n=3$ либо $k=n+1$.

1) Легко заметить, что при $n=3, m \equiv 1 \ ( mod {3} )$удоволетворяет условиям.

2) Если $n≠3$, то k не меньше n+1. Следовательно, $k=n+1$.

$d=3^{n+1}$.

По теореме Эйлера мы знаем что $ a^{\varphi (n)} \equiv 1 \ (mod {n})$.

Следовательно $$3^{n+1}=d | \varphi (n) $$.

Но, $3^{n+1}>n-1$, а $n-1$ в свою очередь не меньше $ \varphi (n)$.

Следовательно, такое не возможно.