Математикадан республикалық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 10 сынып

$\dfrac{1+bc}{b-c}$, $\dfrac{1+ac}{c-a}$ және $\dfrac{1+ab}{b-a}$ сандары бүтін болатындай етіп $a,b,c$ нақты сандары алынған. Онда олардың кез-келген жұбы өзара жай сандар екенін дәлелде.

Комментарий/решение

Пусть $x,y,z$ полученные целые числа. Заметив, что определяющие их формулы являются котангенсом разности, легко вывести тождество $xy+yz+xz=1$. Поэтому если $d|x,y$, то $d|1$, что требовалось.

как легко вышло, а я эту задачу не мог решить 4 года.

толықтырып түсіндіріп жіберсеңбе?

Пусть $x=\frac{1+bc}{b-c}, y=\frac{1+ca}{c-a}, z=\frac{1+ab}{a-b}$(да, в изначальном решении я немного ошибся, написав, что это просто все целые числа). Вообще, достаточно просто преобразовать $xy+yz+xz$, в итоге получится 1(это самый сложный шаг, надеюсь дальше очевидно). Однако додуматься сразу вычислять это выражение - долго и практически невозможно. Я додумался до него следующим образом: заменим $a=ctg\alpha, b=ctg\beta, c=ctg\gamma$. Тогда по формуле котангенса разности $z=\frac{1+ctg\alpha ctg\beta}{ctg\alpha-ctg\beta}=ctg(\alpha-\beta)$, аналогично $x=ctg(\beta-\gamma), y=ctg(\gamma-\alpha)$. Поэтому по формуле котангенса суммы $ctg(\alpha-\beta)=ctg((\alpha-\gamma)+(\gamma-\beta))=\frac{1-ctg(\alpha-\gamma)ctg(\gamma-\beta)}{ctg(\alpha-\gamma)+ctg(\gamma-\beta)}$. Обратная замена даёт $x=\frac{1-yz}{y+z}\Leftrightarrow xy+yz+zx=1$. Предположим, что найдётся $d>1, d|x,y$. Тогда $d|xy,yz,zx$, поэтому $d|xy+yz+zx=1$ - противоречие, это значит, что $x,y$ - взаимнопросты. Аналогично, пары $y,z$ и $z,x$ взаимнопросты между собой. - что требовалось доказать