Республиканская олимпиада по математике, 2006 год, 9 класс

Известно, что $x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_6^2 =6$ и $x_1 + x_2 + \dots + x_6 =0$. Докажите, что $x_1x_2 \dots x_6 \leq \frac{1}{2}$.

Комментарий/решение

$\circ $Егер $x_{1},x_{2},...,x_{6}$ сандарының ішінде $0$ немесе теріс сандардың саны тақ болса теңсіздік орындалатыны белгілі. Теріс сандардың саны жұп болсын. Олар: $2$ немесе $4$ болады. $x_{1},x_{2}<0$ ал $x_{3},...,x_{6}>0$ болсын және $y_{i}=\left | x_{i} \right |.$

Cонда ${y_{1}^{2}}+{y_{2}^{2}}+{y_{3}^{2}}+{y_{4}^{2}}+{y_{5}^{2}}+{y_{6}^{2}}=1$ және $y_{1}+y_{2}=y_{3}+y_{4}+y_{5}+y_{6}=S.$

Орталар теңсіздігінен:

$\sqrt{\frac{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}{2}}\geq \frac{y_{1}+y_{2}}{2}=\frac{S}{2} \Rightarrow y_{1}^{2}+y_{2}^{2}\geq \frac{S^2}{2}$ және $\sqrt{\frac{y_{3}^{2}+y_{4}^{2}+y_{5}^{2}+y_{6}^{2}}{4}}\geq \frac{y_{3}+y_{4}+y_{5}+y_{6}}{4}=\frac{S}{4}\Rightarrow y_{3}^{2}+y_{4}^{2}+y_{5}^{2}+y_{6}^{2}\geq \frac{S^2}{4}.$

Алынған теңсідіктерді қоссақ : $6=y_{1}^{2}+...+y_{6}^{2}\geq \frac{S^2}{2}+\frac{S^2}{4}\Rightarrow S^2\leq 8.$

$y_{1}y_{2}\leq \left ( \frac{y_{1}+y_{2}}{2} \right )^2=\frac{S^2}{4}$ және $y_{3}...y_{6}\leq \left ( \frac{y_{3}+...+y_{6}}{2} \right )^4=\frac{S^4}{256}.$

Екеуін көбейтсек: $x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5}x_{6}=y_{1}y_{2}y_{3}y_{4}y_{5}y_{6}\leq \frac{S^2}{4}\cdot \frac{S^4}{256}=\frac{S^6}{1024}\leq \frac{8^3}{1024}=\frac{1}{2}. $ $\bullet$