Республиканская олимпиада по математике, 2006 год, 11 класс

Докажите, что если натуральное число $N$ представляется в виде суммы трех квадратов целых чисел, делящихся на 3, то оно также представляется в виде суммы трех квадратов целых чисел, не делящихся на 3.

Комментарий/решение

Из условия следует, что число $N$ можно представить в виде $9n(a^2 + b^2 + c^2)$, где одно из чисел $a$, $b$, $c$ не кратно 3. Число $9(a^2 + b^2 + c^2)$ можно представить в виде $x^2 + y^2 + z^2$, где $x$, $y$, $z$ не кратны 3. Исходное число, тем самым, запишется в виде $9n–1(x^2 + y^2 + z^2)$. Продолжая, будем понижать степень девятки, пока она не станет равной нулю.