Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 9 класс


В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ справедливы следующие соотношения: $AB=BC$, $AD=BD$ и $\angle ADB = 2 \angle BDC$. Известно, что $\angle ACD = 100^\circ$. Найдите $\angle ADC$. ( М. Кунгожин )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть точка $C'$ симметрична точке $C$ относительно $BD$. Тогда $BC = BC'$ и $\angle CDB = \angle BDC'$. Откуда из условия задачи следует, что $\angle BDC' = \angle C'DA$, то есть $C'$ лежит на биссектрисе угла $BDA$.

Значит, $BC' = AC'$, откуда $ABC'$ — правильный треугольник. Точки $A$, $C$ и $C'$ лежат на одной окружности c радиусом $AB$ и центром в точке $B$. Поэтому $\angle ACC' = \angle ABC'/2 = 30^\circ$. Следовательно, $\angle C'CD = 70^\circ$, $\angle CDB = 20^\circ$ и $\angle CDA = 3 \angle CDB = 60^\circ$.