Республиканская олимпиада по математике, 2007 год, 10 класс

Пусть $a, b, c$ — положительные числа. Докажите неравенство $$ \frac{1} {{a + ab + abc}} + \frac{1} {{b + bc + bca}} + \frac{1} {{c + ca + cab}} \leq \frac{1} {{3\root 3 \of {abc} }}\left( {\frac{1} {a} + \frac{1} {b} + \frac{1} {c}} \right). $$

Комментарий/решение

$$ \frac{1}{a+ab+abc}+\frac {1}{b+bc+ac}+\frac {1}{c+ac+abc}\leq $$

$$\leq\frac{1}{3\sqrt [3]{a^3b^2c}}+\frac{1}{3\sqrt [3]{b^3c^2a}}+\frac{1}{3\sqrt [3]{c^3a^2b}}=\frac{1}{3\sqrt [3]{abc}}\Big ( \frac {1}{\sqrt [3]{a^2b}}+\frac{1}{\sqrt [3]{b^2a}}+\frac{1}{\sqrt [3]{c^2a}}\Big)\leq $$

$$\leq \frac {1}{3\sqrt [3]{abc}}\Big( \frac{1}{3}\Big (\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\Big)+\frac{1}{3}\Big (\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Big)+\frac{1}{3}\Big (\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\Big)\Big)=\frac{1}{3\sqrt[3]{abc}}\Big( \frac {1}{a}+\frac {1}{b}+\frac {1}{c}\Big).$$