Республиканская олимпиада по математике, 2007 год, 10 класс

Найдите все пары $\left( {\alpha ,\beta } \right)$ рациональных чисел, удовлетворяющие уравнению $\alpha ^2 + \beta ^2 = \alpha ^3 + \beta ^3.$

Комментарий/решение

Ответ $\alpha = \gamma\cdot \dfrac{\gamma^2+1}{\gamma^3+1};\beta = \dfrac{\gamma^2+1}{\gamma^3+1}$ где $\gamma - $ любое число; кроме того $\alpha=0;\beta=0$

1) Заметим, что если $\alpha<0;\beta<0$, то уравнение не будет выполнено. Действительно, $\alpha^2+\beta^2>0;\alpha^3+\beta^3<0;$

2) Пусть $\alpha = \gamma\cdot\beta$. С учетом этого трансформируем уравнение

$$\alpha^2+\beta^2=\alpha^3+\beta^3\rightarrow ( \gamma\cdot\beta)^2+\beta^2=( \gamma\cdot\beta)^3+\beta^3$$

3) Решим уравнение (2) относительно $\beta$

$$(\gamma^3+1)\cdot\beta^3-(\gamma^2+1)\cdot\beta^2=0$$

$$\beta^2(\beta\gamma^3+\beta-\gamma^2-1)=0$$

Корень $\beta=0$ соответствует $\alpha = 0;\beta=0;$, что удовлетворяет уравнению

4) Из (3) можно получить еще корень

$$\beta\gamma^3+\beta-\gamma^2-1=0\rightarrow \beta = \dfrac{\gamma^2+1}{\gamma^3+1}$$

Откуда следует, что

$$\alpha =\gamma\cdot\dfrac{\gamma^2+1}{\gamma^3+1}$$