Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 9 класс

Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. Пусть продолжение сторон $AB$ и $CD$ за точки $B$ и $C$, соответственно, пересекаются в точке $M$. Обозначим основания перпендикуляров из точки $M$ на диагонали $AC$ и $BD$ соответственно через $P$ и $Q$. Докажите, что $KP=KQ$ где, $K$ — середина стороны $AD$.

Комментарий/решение

Можно по формуле медиан для треугольника $AQD$ будет $4QK^2=2AQ^2+2QD^2-AD^2$ так же и для медианы $PK$ треугольника $APD$ откуда требуется доказать что $AQ^2+DQ^2=AP^2+PD^2$ из условия следует что $\angle AMQ = \angle PMD$ выражая $MQ=MD \cdot \sin \angle BAC$ и $MA=\dfrac{MP}{\sin \angle BAC}$ и $DQ = MD \cos \angle BAC$ откуда по теореме косинусов $AQ^2+DQ^2 = (MD \sin \angle BAC)^2+(\dfrac{MP}{\sin \angle BAC})^2-2MD \cdot MP \cos \angle AMQ + (MD \cdot \cos \angle BAC)^2$

И второй $PD^2+AP^2 = MP^2+MD^2 -2MP \cdot MD + (MP ctg \angle BAC)^2$

Приравнивая $\dfrac{1}{sin^2 \angle BAC } = 1+ctg^2\angle BAC$ которое верно, значит $QK=PK$

Пусть $A_1$ , $D_1$ середины $MD$ , $MA$ соответсвенно. Тогда $$KA_1=AM/2=PD_1$$ $$KD_1=DM/2=QA_1$$ Заметим, что $$\angle KA_1Q=180-\angle KA_1D-\angle QA_1M=180-\angle KD_1A-\angle PD_1M=\angle KD_1P$$

$$(\angle PD_1M=2\angle BAC=2\angle BDC=\angle QA_1M)$$

Откуда $\triangle KA_1Q=\triangle PD_1K\implies KP=KQ$