Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 10 класс

Докажите неравенство $a^{12}+(ab)^6+(abc)^4+(abcd)^3\leq 1,\!43(a^{12}+b^{12}+c^{12}+d^{12})$ для неотрицательных чисел $a$, $b$, $c$, $d$. ( Н. Седракян )

Комментарий/решение

Здесь условие не полно. Кажется, после $43(a^{12}+b^{12}+c^{12}+d^{12})$ должно что-то написано. А то неравенство не правильно (при $a=b=c=d=1$).

Очень неприятная задача для глаз.

$0.25a^6 +b^{12} \geq (ab)^6$

$(!) 0.18a^{12}+0.43b^{12}+1.43c^{12}+1.43d^{12}\geq (abc)^4+(abcd)^3$

$c^{12}+\frac{1}{3}b^{12}+ \frac{1}{9}a^{12}\geq(abc)^4$

$(!) \frac{62}{900}a^{12}+\frac{29}{300}b^{12}+\frac{43}{100}c^{12}+1.43d^{12}$ (По $AM\geq GM$ для 4, просто подставьте все вместе, у вас выйдет какое то число что будет больше $(abcd)^3$.) ($P.S.$ мне лень считать но на тетради так вышло, просто это произведение будет больше $\frac{1}{256}$ в корне 4 силы, что равно $0.25$ а там уже у $AM \geq GM$ мы ведь использовали поделённым на 4, занесём 4 и выйдет строгая единица.)

Кстати там выходит строгое неравенство, а равенство просто происходит при случае когда все равны 0.