Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 10 класс
Докажите неравенство $a^{12}+(ab)^6+(abc)^4+(abcd)^3\leq 1,\!43(a^{12}+b^{12}+c^{12}+d^{12})$ для неотрицательных чисел $a$, $b$, $c$, $d$.
(
Н. Седракян
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Очень неприятная задача для глаз.
$0.25a^6 +b^{12} \geq (ab)^6$
$(!) 0.18a^{12}+0.43b^{12}+1.43c^{12}+1.43d^{12}\geq (abc)^4+(abcd)^3$
$c^{12}+\frac{1}{3}b^{12}+ \frac{1}{9}a^{12}\geq(abc)^4$
$(!) \frac{62}{900}a^{12}+\frac{29}{300}b^{12}+\frac{43}{100}c^{12}+1.43d^{12}$ (По $AM\geq GM$ для 4, просто подставьте все вместе, у вас выйдет какое то число что будет больше $(abcd)^3$.) ($P.S.$ мне лень считать но на тетради так вышло, просто это произведение будет больше $\frac{1}{256}$ в корне 4 силы, что равно $0.25$ а там уже у $AM \geq GM$ мы ведь использовали поделённым на 4, занесём 4 и выйдет строгая единица.)
Кстати там выходит строгое неравенство, а равенство просто происходит при случае когда все равны 0.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.