Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 10 класс

Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке $N$. Хорды $BA$ и $BC$ внешней окружности касаются внутренней в точках $K$ и $M$ соответственно. Пусть $Q$ и $P$ — соответственно середины дуг $AB$ и $BC$, не содержащих точку $N$. Окружности, описанные около треугольников $BQK$ и $BPM$, пересекаются в точке $B_1\neq B$. Докажите, что $BPB_1Q$ — параллелограмм.

Комментарий/решение

Утверждение: $N$, $K$, $Q$ на одной прямой и $N$, $M$, $P$ тоже.

$\angle ANQ=\angle QNB=\angle QBA=\angle QB_{1}K=\beta$

$\angle BNP=\angle PNC= \angle PBC=\angle PB_{1}M=\alpha$

$\angle ABC=180-2(\beta+\alpha)$

$\angle QBP=180-(\alpha+\beta)=\angle QB_{1}P$

$AK=AM$ $\rightarrow$ $\angle BKM=\angle BMK= \angle BQB_{1}=BPB_{1}$

Получаем у четырехугольника $BQPB_{1}$ противоположенные углы равны значит он параллелограмм.

фактанул