Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 11 класс

Дан многочлен $f(x,y,z)$ с целочисленными коэффициентами (от трех переменных $x, y, z$) такой, что $$f(x, y, z)=-f(z, y, x)=-f(z, y, x)=-f(y, x, z).$$ Докажите, что $f(a, b, c)$ — четное число для любых целых чисел $a, b, c$.

Комментарий/решение

Почему здесь $-f(z,y,x) $ написано 2 раза?

Потому что опечатка

Пусть $P(x,y,z)$ будет данное равенство. Тогда при $P(z,x,y)$: $f(y,x,z)=f(x,z,y)$. Используя это выходит что: $f(x,y,z)=-f(y,x,z)=-f(x,z,y)=-f(z,y,x)$.

Если здесь взять $z=y$, то $0=f(x,y,y)=f(x,x,y)=f(x,y,x)$. Из этого можно понять что $f(1,1,1)=f(1,1,0)=f(1,0,1)=f(1,0,0)=f(0,1,1)=f(0,1,0)=f(0,0,1)=f(0,0,0)=0$. Пусть множество этих чисел будет $S$, тогда так как любое число при делении на $2$ даёт остатки $0$ или $1$, то для любых $x,y,z$ $f(x,y,z)$ при делении на 2 даёт остаток равному одному из чисел из множество $S$. Но так как все числа из множество $S$ чётны, то и $f(x,y,z)$ чётна.