Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 11 класс

Какое максимальное число плоскостей в пространстве можно выбрать так, чтобы нашлось 6 точек, удовлетворяющих следующим условиям:
а) на каждой из выбранных плоскостей находится не менее 4 из этих точек;
б) никакие 4 их этих точек не лежат на одной прямой?

Комментарий/решение

Сначала вспомним несколько известных лемм из стереометрии:

Лемма 1 Через любые три не коллинеарные точки можно провести ровно одну плоскость.

Лемма 2 Если две плоскости пересекаются, то они пересекаются по прямой.

Лемма 3 Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости.

Теперь покажем что ответ $6$. Пусть у нас есть $6$ точек $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}$. Определим максимальное количество точек в одной плоскости. Если все точки лежат в одной плоскости, то больше не существует плоскостей в которых лежат хотя бы $4$ выбранные точки. Так как никакие $4$ точки не лежат на одной прямой, то среди них есть хотя бы три не коллинеарные, а по лемме 1 такая плоскость всего одна. Значит в этом случае не более одной плоскости можно выбрать. Теперь если существует плоскость в которой лежит $5$ выбранных точек, плоскость $S$. Пусть это точки $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$, тогда все оставшиеся плоскости должны содержать $3$ коллинеарные выбранные точки из $S$ и $a_{6}$. Через $5$ точек можно провести не более двух прямых так чтобы на каждой лежало хотя бы по три точки. Тогда можно выбрать не более трех плоскостей. А так как у нас ответ $6$, то этих случаев быть не может. Значит в каждой из выбранных плоскостей не более $4$ выбранных точек, а так как по условию и не менее $4$, то в каждой плоскости лежит ровно $4$ точки. Пусть нету трех точек лежащих на одной прямой. Пусть в плоскости $S$ лежат точки $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$. Тогда все оставшееся плоскости содержат точки $a_{5}, a_{6}$ и две точки из $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$, иначе две плоскости будут содержать общие $3$ не коллинеарные точки. Пусть одна из плоскостей содержит точки $b_{1}, b_{2}, a_{5}, a_{6}$. а другая $b_{1}, b_{3}, a_{5}, a_{6}$, где $b_{1}, b_{2}, b_{3} \in {a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}}$. Тогда по лемме 2 эти плоскости пересекаются по прямой которая содержит $b_{1}, a_{5}, a_{6}$, а у нас любые три точки не лежат на одной прямой, противоречие. Тогда все точки из $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ принадлежат максимум одной плоскости помимо $S$. Значит все плоскостей помимо $S$ не более $2$, а всего можно выбрать не более трех плоскостей. Так как наш ответ $6$, значит существуют три коллинеарные точки. Пусть точки $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ лежат на одной прямой. Тогда если плоскость одержит хотя бы точки из $a_{1}, a_{2}, a_{3}$, то она содержит все три, по лемме 3. Значит можно построить не более трех плоскостей которые содержат хотя бы две точки из $a_{1}, a_{2}, a_{3}$, где четвертая точка одна из $a_{4}, a_{5}, a_{6}$. Также можно построить не более трех плоскостей содержащих ровно одну точку из данных, такие плоскости будут содержать эту точку и все три $a_{4}, a_{5}, a_{6}$. Плоскостей содержащих не одну точку из $a_{1}, a_{2}, a_{3}$, не может быть, так как по условию каждая плоскость содержит хотя бы $4$ точки. Значит ответ не более $6$. Приведем пример. Пусть точки $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ лежат на одной прямой, а точки $a_{4}, a_{5}, a_{6}$ на другой. Тогда можно выбрать плоскости содержащие точки $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{5}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{6}; a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{1}; a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{2};a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{3}$.