Республиканская олимпиада по математике, 2009 год, 10 класс

Пусть $f(x)$ — многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что для некоторого натурального числа $k$ выполнено равенство $\underbrace{f(f(\dots f(0)\dots))}_{k-\text{раз}}=0.$ Докажите, что $f(0)=0$ или $f(f(0))=0$.

Комментарий/решение

Определим последовательность ${a_n}$ следующим образом:$a_0=0$, $\underbrace{f(f(\dots f(0)\dots))}_{i-\text{раз}}=a_i$, для каждого $1\leq i\leq k+1$. Причем $a_{k+1}=a_1$. Заметим, что $a_{i+1}-a_{i}=f(a_i)-f(a_{i-1})$ $\vdots a_i-a_{i-1}$ для любого $1\leq i\leq k$. Но тогда $\left | a_{i+1}-a_{i}\right |=C$ для любого $1\leq i\leq k$, и некоторого $C$.

Заметим, что сумма внутри всех модулей равна нулю, а при раскрытии число раскрывается либо как $С$ либо как $-С$. Тогда существует существует $v$, что $a_{v+2}-a_{v+1}=C, a_{v+1}-a_{v}=-C$, (если $C=0$, то задача решена). Но тогда $a_{v+2}=a_{v}$, и $a_{v+3}-a_{v+1} \vdots a_{v+2}-a_{v} = 0$. Откуда следует, что $a_{v+3}=a_{v+1}$. Поскольку $a_k=0$, то очевидно следует, что $a_2=a_k$ или $a_k=a_1.$ Тогда в любом случае $a_2=f(f(0))=0$. Что и требовалось доказать.