Республиканская олимпиада по математике, 2009 год, 11 класс

Докажите, что для чисел $ 0 < a_{1}\leq a_{2}\leq \dots \leq a_{n} $ ($ n\geq 3$) выполнено неравенство $$ \frac{a_{1}^{2}}{a_{2}}+\frac{a_{2}^{3}}{a_{3}^{2}}+\ldots+\frac{a_{n}^{n+1}}{a_{1}^{n}}\geq a_{1}+a_{2}+ \ldots +a_{n}. $$ ( Д. Елиусизов )

Комментарий/решение

Используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим получаем:

$$ \frac{a_1^2}{a_2}+a_2 \geq 2\sqrt{\frac{a_1^2}{a_2} \cdot a_2}=2a_1$$

$$ \frac{a_2^3}{a_3^2}+a_3+a_3 \geq 3 \sqrt[ \huge3]{ \frac{a_2^3}{a_3^2} \cdot a_3 \cdot a_3}=3a_2$$

$$\cdot \cdot \cdot $$

$$\frac{{a_k^{k + 1} }}{{a_{k + 1}^k }} \ge \left( {k + 1} \right)a_k - ka_{k + 1}. $$

для любого $k \leq n$.

Естественно $a_{n+1}=a_1$.

Складывая все эти неравенства и используя упорядоченность получаем наше неравенство.

хорошее решение.