39-я Балканская математическая олимпиада. Кипр, 2022 год


Задача №1.  Пусть $ABC$ является остроугольным треугольником с описанной окружностью $\omega$ и центром описанной окружности $O$ так, что $CA\ne CB$. Пусть $\tau_A$ и $\tau_B$ являются касательными к окружности $\omega$ в точках $A$ и $B$ соответственно, которые пересекаются в точке $X$. Пусть точка $Y$ является основанием перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на отрезок $CX$. Прямая, проходящая через точку $C$, параллельная прямой $AB$, пересекает $\tau_A$ в точке $Z$. Докажите, что прямая $YZ$ проходит через середину отрезка $AC$.
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Пусть $a$, $b$ и $n$ являются положительными целыми числами, где $a > b$, такими, что выполняются все следующие утверждения:
   (i) $a^{2021}$ делит $n,$
   (ii) $b^{2021}$ делит $n,$
   (iii) 2022 делит $a-b.$
   Докажите, что существует подмножество $T$ множества всех положительных делителей числа $n$ такое, что сумма всех элементов $T$ делится на 2022, но не делится на $2022^2.$
комментарий/решение
Задача №3.  Найдите все функций $f:(0,\infty) \to (0,\infty)$ такие, что $f(y(f(x))^3+x)=x^3f(y)+f(x)$, для всех $x,y > 0.$
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Рассмотрим таблицу $n\times n$, состоящую из $n^2$ единичных клеток, где $n \ge 3$ является заданным нечетным положительным целым числом. Сначала, Дионис окрашивает каждую клетку либо в красный, либо в синий цвет. Известно, что лягушка может прыгать из одной клетки в другую тогда и только тогда, когда эти клетки покрашены в одинаковый цвет и имеют хотя бы одну общую вершину. Затем Ксантиас видит раскраску и после этого размещает $k$ лягушек на некоторых клетках так, чтобы каждая из $n^2$ клеток могла быть достигнута лягушкой за конечное число (возможно, ноль) прыжков. Найдите наименьшее значение $k$, при котором это всегда возможно, независимо от раскраски, выбранной Дионисом.
комментарий/решение
результаты