Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2022 год

Есеп №1.  $a^3$ саны $b^2$ санына, ал ${b-1}$ саны ${a-1}$ санына бөлінетіндей барлық $(a,b)$ натурал сандар жұбын табыңыз.
комментарий/решение(5)

---

Есеп №2.  $ABC$ үшбұрышында $\angle B = 90^\circ$. $D$ нүктесі $CB$ түзуінде $B$ нүктесі $D$ мен $C$ арасында жататындай алынған. $E$ нүктесі -- $AD$ кесіндісінің ортасы, ал $ACD$ және $BDE$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет $F$ нүктесінде қиылысады. $D$ нүктесінің алуына қарамастан, барлық $EF$ түзулері тұрықты нүкте арқылы өтетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3.  Келесі шартты қанағаттандыратын барлық натурал $k < 202$ сандарын табыңыз: әр табылған $k$ саны үшін $$\left\{ {\frac{n}{{202}}} \right\} + \left\{ {\frac{{2n}}{{202}}} \right\} + \ldots + \left\{ {\frac{{kn}}{{202}}} \right\} = \frac{k}{2}$$ теңдігі орындалатындай натурал $n$ саны табылады. ($x$ санының бөлшек $\{x\}$ бөлігі деп, $\{x\} = x-[x]$ санын айтамыз. Бұл жерде $[x]$ саны $x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан.)
комментарий/решение(8)

---

Есеп №4.  $n$ мен $k$ — натурал сандар. Кэти келесі ойын ойнайды. $n$ шар мен $k$ жәшік бар. Шарлар 1-ден $n$-ге дейінгі сандармен нөмірленген. Басында барлық шарлар бір жәшікке салынған. Әр жүрісте Кэти бос емес жәшікті таңдап, сол жерден ең кіші нөмірлі шарды алып, айталық $i$ нөмірлі, сосын сол шарды немесе кез келген бос жәшікке салады, немесе ішінде ${i + 1}$ нөмірлі шары бар жәшікке салады. Егер қандай да бір уақытта ішінде тек $n$ нөмірлі шары бар жәшік табылса, Кэти осы ойында жеңіске жетті деген сөз. Осы ойында Кэти жеңіске жете алатындай, барлық $(n; k)$ сандар жұбын анықтаңыздар.
комментарий/решение(6)

---

Есеп №5.  Нақты $a$, $b$, $c$, $d$ сандары үшін $a^2+b^2+c^2+d^2=1$ теңдігі орындалады. ${(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)}$ өрнегінің ең кіші мәнін анықтаңыз, және өрнек мәні тапқан ең кіші мәнге тең болатындай барлық $(a,b,c,d)$ төрттіктерін табыңыз.
комментарий/решение(4)

---