Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2022 год

Задача №1.  Найдите все пары натуральных чисел $(a,b)$ таких, что $a^3$ делится на $b^2$, и ${b-1}$ делится на ${a-1}$.
комментарий/решение(5)

---

Задача №2.  В треугольнике $ABC$ $\angle B = 90^\circ$. На прямой $CB$ выбрали точку $D$ так, что $B$ лежит между точками $D$ и $C$. Пусть $E$ — середина отрезка $AD$ и $F$ — вторая точка пересечения окружностей, описанных около треугольников $ACD$ и $BDE$. Докажите, что все такие прямые $EF$ проходят через фиксированную точку, независимо от выбора точки $D$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Найдите все натуральные числа $k < 202$, для каждого из которых существует натуральное число $n$ такое, что $$\left\{ {\frac{n}{{202}}} \right\} + \left\{ {\frac{{2n}}{{202}}} \right\} + \ldots + \left\{ {\frac{{kn}}{{202}}} \right\} = \frac{k}{2}.$$ Дробной частью числа $x$ называется такое число $\{x\}$, что $\{x\} = x-[x]$, где $[x]$ это наибольшее целое число, не превосходящее $x$.
комментарий/решение(8)

---

Задача №4.  Пусть $n$ и $k$ — натуральные числа. Кэти играет в следующую игру. Имеется $n$ шариков и $k$ коробок, причем шарики пронумерованы числами от 1 до $n$. Изначально все шарики помещаются в одну коробку. На каждом ходу Кэти выбирает непустую коробку, а затем из неё перемещает шарик с наименьшим номером, скажем $i$, либо в любую другую пустую коробку, либо в коробку, содержащую шарик с номером ${i + 1}$. Кэти выигрывает, если в какой-то момент найдется коробка, содержащая только шарик с номером $n$. Найдите все пары чисел $(n; k)$, при которых Кэти может выиграть в этой игре.
комментарий/решение(6)

---

Задача №5.  Пусть $a$, $b$, $c$, $d$ действительные числа такие, что $a^2+b^2+c^2+d^2=1$. Найдите наименьшее значение выражения ${(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)}$ и найдите все четвёрки $(a,b,c,d)$, для которых это значение достигается.
комментарий/решение(4)

---