Республиканская юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2017-2018 учебный год

Есеп №1. Мюнхгаузен барон бір графтың мерейтойынан келгенде, ол тойда жеті тортты (әр торт пішіні — дұрыс үшбұрыш) дұрыс үшбұрыштарға кескенін айтты. Қонақтар саны 91 болғандықтан, ол әр тортты 13 дұрыс үшбұрышқа кескен және әр жолы әртүрлі тәсілдермен кескен, яғни беттестіргенде сәйкеспейтіндей. Ол мұны қалай жасағанын көрсетіңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. 16 наурыз күні жиһанкез қонақүйден түсте шығып, вокзалға жаяу барды. Вокзалдан қалаға дейін электропойыздар әр күні тек 12:25 және 12:55 жүретіні белгілі. Әр 20 секундта ол 17 қадам жасайды, әр 7 қадамы 5 м құрайды. Қонақүйден вокзалға дейінгі қашықтығ 2018 м болса, ол электропойызға үлгере ме?
комментарий/решение(2)

Есеп №3. $x,y,z$ — нөлге тең емес әртүрлі цифрлар. $x,y,z$ сандарын сәйкесінше 1, 2, 3 сандарына арттырды. Сонда $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ қосындысы ең көп дегенде қаншаға азайды?
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Арман мен Дәурен Артур корольдің дөңгелек үстелі картинасындағы серілерді сағат тілінің бағытында санап шықты. Арманның санағында 7-ші болған сері — Дәуреннің санағында 47-ші болып шықты. Ал Дәуреннің санағында 7-ші болған сері — Арманның санағында 30-шы болып шықты. Артур корольдің дөңгелек үстелінде неше сері отырған?
комментарий/решение(1)

Есеп №5. $ABCD$ квадратында $K$ және $M$ нүктелері сәйкесінше $AB$ және $CD$ қабырғаларының орталары. $N$ — нүктесі $BC$ қабырғасының бойындағы нүкте. $E$ нүктесі $NK$ және $AD$ түзулерінің қиылысу нүктесі. $\angle EMN=90^\circ$ болса $\angle BKN=60{}^\circ$ екенін дәлелдеңіз. Және де кері тұжырымды дәлелдеңіз: егер $\angle BKN=60{}^\circ$ болса онда $\angle EMN=90^\circ$ болатынын.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Әлихан мен Дамир теңіз шайқасы ойынын ойнайды. Дамирде қатарынан орналасқан төрт ұяшықтан тұратын тұтас кеме қалғаны белгілі. Әлихан атып үлгерген ұяшықтар боялған. Дамирдің кемесіне кепілді түрде соққы тигізу үшін Әлиханның кем дегенде қанша оқ ату керек?

комментарий/решение(5)

Есеп №7. Кез келген қатар келген үш сан келесі интервалда болатындай, 1, 2, $\ldots $, 18 сандарын шеңбер бойымен қойып шығуға болады ма: а) [30; 33]; б) [27; 30]; в) [23; 29]?
комментарий/решение(1)

Есеп №8. $a$ санын ерекше деп атайық, егер әр $k=1,2,\ldots ,10$ сандары үшін $a={{x}^{2}}+k{{y}^{2}}$ теңдігі орындалатындай натурал $x$ және $y$ сандары табылса. 1005, 1006, 1007, 1008, 1009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018 сандар ішінде қаншасы ерекше сан?
комментарий/решение