Республиканская олимпиада по математике, 2004 год, 11 класс


Задача №1.  Для вещественных чисел $1\leq a\leq b \leq c \leq d \leq e \leq f$ докажите неравенство $$(af + be + cd)(af + bd + ce) \leq (a + b^2 + c^3 )(d + e^2 + f^3 ).$$ ( А. Васильев )
комментарий/решение
Задача №2. Зигзагом назовем ломаную на плоскости, образованную из двух параллельных лучей и отрезка, соединяющего начала этих лучей. На какое максимальное число частей может быть разбита плоскость с помощью $n$ зигзагов?
комментарий/решение
Задача №3.  Существует ли последовательность $\{a_n\}$ натуральных чисел, удовлетворяющая следующим условиям:
а) в этой последовательности встречается каждое натуральное число и ровно один раз;
б) $a_1+a_2+\dots+a_n$ делится на $n^n$ для каждого $n=1, 2, 3, \dots $?
комментарий/решение
Задача №4. В некотором ауле 1000 жителей. Ежедневно каждый из них делится узнанными вчера новостями со всеми своими знакомыми. Известно, что любая новость становится известной всем жителям аула. Докажите, что можно выбрать 90 жителей так, что если одновременно всем им сообщить какую-то новость, то через 10 дней она станет известной всем жителям аула.
комментарий/решение
Задача №5. Пусть $P(x)$ многочлен с действительными коэффициентами такой, что $P(x) > 0$ для всех $x\geq 0$. Докажите, что существует положительное целое число $n$ такое, что $(1 + x)^n P(x)$ многочлен с неотрицательными коэффициентами.
комментарий/решение
Задача №6.  Последовательность целых чисел $a_1$, $a_2$, $\dots $ определяется следующим образом: $a_1=1$ и $n > 1$, $a_{n+1}$ наименьшее целое число больше $a_n$ и такое, что $a_i+a_j\neq 3a_k$ для любых $i, j$ и $k$ из $\{1, 2, \dots, n+1\}$ не обязательно разные. Определить $a_{2004}$.
комментарий/решение
Задача №7.  Докажите, что для любых $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$ верно неравенство $$ 8a^2 b^2 c^2 \geq (a^2 + ab + ac - bc)(b^2 + ba + bc - ac)(c^2 + ca + cb - ab). $$
комментарий/решение(2)
Задача №8.  Пусть $ABCD$ выпуклый четырехугольник с $AB$ не параллельным $CD$, и пусть $X$ точка внутри $ABCD$ такая, что $\angle ADX=\angle BCX < 90^\circ$ и $\angle DAX=\angle CBX < 90^\circ$. Если $Y$ точка пересечения серединных перпендикуляров $AB$ и $CD$, то докажите, что $\angle AYB=2\angle ADX$.
комментарий/решение(1)