Республиканская олимпиада по математике, 2005 год, 10 класс


Задача №1.  При каких нижеперечисленных значениях $A$, $B$, $C$ система уравнений $$ \left\{ \begin{array}{rcl} (x - y)(z - t)(z - x)(z - t)^2 = A, \\ (y - z)(t - x)(t - y)(x - z)^2 = B,\\ (x - z)(y - t)(z - t)(y - z)^2 = C,\\ \end{array} \right. $$ имеет решение в вещественных числах, и при каких нет?
а) $A=2$, $B=8$, $C=6$; б) $A=2$, $B=6$, $C=8$.
комментарий/решение
Задача №2.  Докажите неравенство $ab + bc + ac \geq 2(a + b + c)$ для положительных действительных чисел $a$, $b$, $c$ если известно, что $a + b + c + 2 = abc$. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Найдите все функции $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, где $\mathbb{R}$ — поле вещественных чисел, удовлетворяющие тождеству $f(xy+f(x))=xf(y)+f(x)$ для любых $x,y\in \mathbb{R}$. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение
Задача №4. Известно, что $p$, $p+2$, $p+2^n$, $p+2+2^n$ — простые числа. Найдите возможные целые значения $n$.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $\angle A = 45^\circ $, а высоты $BB_1$, и $CC_1$ пересекаются в точке $H$. Докажите, что прямые $BC$, $B_1C_1$ и прямая $l$, проходящая через точку $A$ перпендикулярно $AC$, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда $H$ — середина отрезка $BB_1$.
комментарий/решение
Задача №6. Найдите все тройки натуральных чисел, удовлетворяющих свойству: произведение любых двух чисел при делении на третье число дает остаток 1.
комментарий/решение
Задача №7.  Обозначим через $S_i$, множество $i$-элементных подмножеств множества $M = \{1, 2, \ldots , n\}$ для каждого $0\leq i\leq n$. Пусть $k < n/2$. Докажите, что существует функция $f:S_k \to S_{k + 1} $ удовлетворяющая следующим условиям:
а) если $X \neq Y \in S_k $ , то $f(X) \neq f(Y)$;
б) $X \subset f(X)$ для любого $X \in S_k $.
комментарий/решение
Задача №8.  На окружности радиуса 1 отмечены $n$ точек. Докажите, что существует не более $\dfrac{n^2}{3}$ различных отрезков, длины которых больше $\sqrt2$, с концами в этих точках.
комментарий/решение