қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2007 год, 9 класс
Задача №1. Имеется 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более, чем в три раза. Докажите, что их можно разложить в пакеты по четыре яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более, чем в полтора раза.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Дан треугольник $ABC$. Точка $R$ выбрана на продолжении стороны $AB$ за точку $B$ так, что $BR=BC$, а точка $S$ выбрана на продолжении стороны $AC$ за точку $C$ так, что $CS=CB$. Диагонали четырехугольника $BRSC$ пересекаются в точке $A'$. Аналогично определяются точки $B'$ и $C'$. Докажите, что площадь шестиугольника $AC'BA'CB'$ равна сумме площадей треугольников $ABC$ и $A'B'C'$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Найдите все простые $p$, для которых существует такое натуральное $m$, что справедливо равенство $(p-1)!+1=p^m$.
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Задача №4. Найдите наибольшее возможное $\alpha > 0$, такое, что для любых $a, b, c$ с условием $0 < a, b, c\leq 1$ выполняется неравенство $$
\frac{1}
{{a + b + c}} \geq \frac{1}
{3} + \alpha \left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right).
$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Пусть $I$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности, $BP$ — биссектриса угла $\angle ABC$, $P$ лежит на $AC$. Докажите, что если $AP+AB=CB$, то треугольник $API$ — равнобедренный.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №6. Докажите, что любая бесконечная арифметическая прогрессия $a, a+d, a+2d, \ldots$, где $a$ и $d$ — натуральные, содержит в качестве подпоследовательности бесконечную геометрическую прогрессию $b, bq, bq^2$, $\ldots$, где $b$ и $q$ — натуральные.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. Докажите, что для любого натурального $n$ выполняется неравенство
$\left\{ {n\sqrt 7 } \right\} > \frac{{3\sqrt 7 }}{{14n}}$, где
$\left\{ x \right\} $ означает дробную часть числа $x$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. Каждая клетка доски $100\times 100$ покрашена в один из 100 цветов так, что имеется ровно 100 клеток каждого цвета. Докажите, что существует строка или столбец, в котором встречаются клетки не менее 10 различных цветов.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)