қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 10 сынып
Есеп №1. Теңдеудің шешімі болатын $a$ және $b$ бүтін сандарының барлық $(a;b)$ жұптарын табыңдар: ${{a}^{4}}-3{{a}^{2}}+4a-3=7\cdot {{3}^{b}}$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. $ABC$ үшбұрышында $A$ бұрышының биссектрисасы $BC$ қабырғасын ${{A}_{1}}$ нүктесінде, ал сырттай сызылған шеңберді ${{A}_{0}}$ нүктесінде қияды. ${{C}_{1}}$ және ${{C}_{0}}$ нүктелері де осыған ұқсас анықталған. ${{A}_{0}}{{C}_{0}}$ және ${{A}_{1}}{{C}_{1}}$ түзулері $P$ нүктесінде қиылысады. Онда $PI$ түзуінің $AC$ қабырғасына параллель екенін дәлелдеңдер, мұндағы $I$ нүктесі — $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Теріс емес $a$, $b$, $c$, $d$ сандары үшін $a^{12} + (ab)^6 + (abc)^4 +(abcd)^3 \leq 1,\!43(a^{12} + b^{12} + c^{12} + d^{12})$ теңсіздігін дәлелдеңдер.
(
Н. Седракян
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №4. Екі шеңбер $N$ нүктесінде іштей жанасады. Сыртқы шеңбердің $BA$ және $BC$ хордалары ішкі шеңберді сәйкесінше $K$ және $M$ нүктелерінде жанайды. $N$ нүктесі жатпайтын $AB$ және $BC$ доғаларының орталарын сәйкесінше $Q$ және $P$ деп белгілейік. $BQK$ және $BPM$, үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер $B_1 \ne B$ нүктесінде қиылысады. $BPB_1Q$ төртбұрышының параллелограмм екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №5. Теңдеуді қанағаттандыратын барлық ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots,{{a}_{2008}}$ бүтін сандар тізбегін анықтаңдар:
$${{\left( 2008-{{a}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{a}_{1}}-{{a}_{2}} \right)}^{2}}+\ldots+{{\left( {{a}_{2007}}-{{a}_{2008}} \right)}^{2}}+{{a}_{2008}}^{2}=2008.$$
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №6. Жазықтықтан ең көп дегенде мына шартты қанағаттандыратын қанша түзу таңдап алуға болады: әрбір таңдалған түзуде ең кем дегенде үш нүктесі жататын 8 нүктеден тұратын жиын табылады?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)