қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 11 сынып
Есеп №1. $n$ натурал саны үшін $a^{n-1} \equiv 1 \pmod {n}$ салыстыруы орындалатындай және $n-1$ санының кез келген $p$ жай бөлгіші үшін $a^{(n-1)/p} \not\equiv 1 \pmod{n}$ орындалатындай $a$ натурал саны табылатыны белгілі. Олай болса, $n$ саны жай екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №2. $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ тізбегіне іліністіру амалын қолдансақ, $(x_1x_2, x_2x_3, \ldots, x_nx_1)$ тізбегін аламыз. Қандай натурал $n > 1$ сандары үшін $1$ және $-1$ сандарынан тұратын кез келген бастапқы тізбектен іліністіру амалын бірнеше рет қолданып, әрқашан $(1, 1, \ldots, 1)$ тізбегін алуға болады?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. Дөңес $ABCD$ төртбұрыш ішінде келесі теңдіктер орындалатындай $M$ және $N$ нүктелері белгіленген:
$\angle NAD= \angle MAB$, $\angle NBC=\angle MBA$, $\angle MCB=\angle NCD$, $\angle NDA=\angle MDC.$ Егер $S_{XYZ}$ арқылы $XYZ$ үшбұрышының ауданын белгілесек, онда $$S_{ABM}+S_{ABN}+S_{CDM}+S_{CDN}=S_{BCM}+S_{BCN}+S_{ADM}+S_{ADN},$$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Теріс емес $x, y$ сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңдер: $$\sqrt{x^2 - x + 1}\sqrt{y^2 - y + 1} + \sqrt{x^2 + x + 1}\sqrt{y^2 + y + 1} \ge 2(x + y).$$
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(7)
комментарий/решение(7)
Есеп №5. $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрін $O$ деп белгілейік. $A$ төбесінен $BC$ табанына түсірілген биіктіктің табаны $D$ нүктесі болсын, ал $AD$ және $CO$ түзулерінің қиылысу нүктесі $E$ болсын. $M$ нүктесі — $AE$ кесіндісінің ортасы, ал $F$ нүктесі — $C$-дан $AO$-ға түсірілген перпендикулярдың табаны. $OM$ және $BC$ түзулерінің қиылысу нүктесі $BOF$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің үстінде жататынын дәлелдеңдер.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Жыл саны деп ондық жазбасы тек қана $0, 1, 2$ цифрларынан құралған кез келген бүтін оң санды айтайық. $A^2 + B$ түрінде келтіруге болмайтын шексіз көп натурал сан табылатынын дәлелдеңдер, мұндағы $A$ — бүтін сан, ал $B$ — жыл саны.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)