Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 10 класс


Задача №1.  Вписанная в треугольник $ABC$ окружность с центром $I$ касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно. Точка $M$ делит отрезок $C_1B_1$ в отношении $3:1$, считая от $C_1$. $N$ — середина стороны $AC$. Докажите, что точки $I$, $M$, $B_1$, $N$ лежат на одной окружности, если известно что $AC=3(BC-AB)$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)
Задача №2. Дано натуральное число $n$. Докажите неравенство $\displaylines{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i(i+1)(i+2)(i+3)(i+4)} < \frac{1}{96}.}$ ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(2)
Задача №3.  На некоторых клетках прямоугольной таблицы $m\times n$ $(m,n > 1)$ стоит по одной шашке. Малыш разрезал по линиям сетки эту таблицу так, что она распалась на две одинаковые части, при этом количество шашек на каждой части оказались одинаковыми. Карлсон поменял расстановку шашек на доске (причем на каждой части клетке по прежнему стоит не более одной шашки). Докажите, что Малыш может снова разрезать доску на две одинаковые части, содержащие равное количество шашек. ( Н. Седракян )
комментарий/решение
Задача №4.  Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, среднее арифметическое и среднее геометрическое делителей которых одновременно являются целыми числами. ( А. Васильев )
комментарий/решение(3)
Задача №5.  Дан неравнобедренный треугольник $ABC$. $A_1$, $B_1$, $C_1$ — точки касания вписанной окружности со сторонами $BC$, $AC$, $AB$. $Q$ и $L$ — точки пересечения отрезка $AA_1$ со вписанной окружностью и отрезком $B_1C_1$ соответственно. $M$ — середина отрезка $B_1C_1$. $T$ – точка пересечения прямых $BC$ и $B_1C_1.$ $P$ — основание перпендикуляра из точки $L$ на прямую $AT$. Докажите, что точки $A_1$, $M$, $ Q$, $P$ лежат на одной окружности. ( А. Баев )
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Определите все пары положительных действительных чисел $(\alpha, \beta)$ для которых существует функция $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R} ^+$ удовлетворяющая для всех положительных действительных чисел $x$ уравнению $f(f(x))=\alpha f(x)-\beta x.$ ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение
результаты