Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 11 класс


Задача №1.  Дано действительное число $a > 0$. Сколько положительных действительных решений имеет уравнение $a^x=x^a$?
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Пусть $\omega$ — описанная окружность треугольника $ABC$ с тупым углом $C$ а $C'$ симметричная точка точке $C$ относительно $AB$. $M$ — середина $AB$. $C'M$ пересекает $\omega$ в точке $N$ ($C'$ между $M$ и $N$). Пусть $BC'$ вторично пересекает $\omega$ в точке $F$, а $AC'$ вторично пересекает $w$ в точке $E$. $K$ — середина $EF$. Докажите что прямые $AB$, $CN$ и $KC'$ пересекаются в одной точке. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Даны нечетные натуральные числа $m > 1$, $k$ и простое число $p$ такое, что $p > mk+1$. Докажите, что сумма $$ (C_k^k)^m+(C_{k+1}^k)^m+ \ldots +(C_{p-1}^k)^m \quad \text{делится на} \quad p^2. $$ Здесь $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, среднее арифметическое и среднее геометрическое делителей которых одновременно являются целыми числами. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2)
Задача №5.  На столе лежит карандаш, заточенный с одного конца. Ученик может поворачивать карандаш вокруг одного из его концов на $45^\circ$ по часовой или против часовой стрелки. Может ли ученик после нескольких поворотов вернуть карандаш на исходное место так, чтобы заточенный и незаточенный конец поменялись местами?
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Назовем квадратную таблицу бинарной, если в каждой ее клетке записано одно число $0$ или $1$. Бинарная таблица называется регулярной, если в каждой ее строке и в каждом столбце ровно по 2 единицы. Определите количество регулярных таблиц размером $n\times n$ ($n > 1$ — данное фиксированное натуральное число). (Можно считать, что строки и столбцы таблиц пронумерованы: случаи совпадения при повороте, отражения и т.п. считать различными). ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение
результаты