Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2013-2014 учебный год, IV тур дистанционного этапа

Задача №1.  Разбойники засыпали сундук доверху золотым и серебряным песком, причём золотого песка насыпали в 2 раза больше по объему, чем серебряного. Али-Баба посчитал, что, если высыпать половину серебряного песка и досыпать сундук доверху золотым песком, цена сундука поднимется на 20 процентов. Как и на сколько процентов изменится стоимость сундука, если высыпать половину золотого песка и досыпать сундук доверху серебряным песком?
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  На сторонах $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ четырёхугольника $ABCD$ выбраны соответственно точки $K$, $L$, $M$, $N$ так, что $AK = AN$, $BK = BL$, $CL = CM$, $DM = DN$ и $KLMN$ — прямоугольник. Докажите, что $ABCD$ — ромб.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  К переправе подошли царевна Соня и 7 богатырей. Богатыри выстроились в ряд так, что каждые двое рядом стоящих богатырей — друзья, богатыри, стоящие не рядом, между собой не дружат, а царевна дружит со всеми кроме среднего богатыря. Имеется одна лодка, в которой могут плыть либо двое друзей, либо трое попарно дружащих (в одиночку плыть нельзя). Смогут ли переправиться все подошедшие к переправе?
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Петя и Вася играют на клетчатой доске $20 \times 20$. Каждым ходом игрок выбирает клетку, у которой все 4 стороны не окрашены, и красит все стороны в красный и синий цвета в любом порядке (например, может покрасить все в один цвет). При этом не должно получаться отрезков одного цвета длиной более чем одна сторона клетки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Первым ходит Петя. Кто из игроков может выигрывать, как бы ни играл соперник?
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Какое наибольшее количество двузначных чисел можно записать в ряд так, чтобы любые два соседних числа были не взаимно просты, а любые два несоседних числа — взаимно просты?
комментарий/решение(1)

---