Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2012-2013 учебный год, I тур регионального этапа


Задача №1.  Каждый из 10 гномов — либо рыцарь, всегда говорящий правду, либо лжец, который всегда врёт, причём хотя бы один из гномов — рыцарь. Все гномы выстроились в шеренгу, после чего девятеро сказали: «Среди стоящих слева от меня есть рыцарь», а оставшийся, Глоин, сказал: «Среди стоящих справа от меня есть рыцарь». Правду сказал Глоин или солгал? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  На пути в музей группа детсадовцев построилась парами, причём количество пар из двух мальчиков было в три раза больше количества пар из двух девочек. На обратном пути та же группа построилась так, что количество пар из двух мальчиков было в четыре раза больше количества пар из двух девочек. Докажите, что эту же группу можно построить так, чтобы количество пар из двух мальчиков было в семь раз больше количества пар из двух девочек. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  На отрезке $AB$ отмечена точка $M$. Точки $P$ и $Q $ — середины отрезков $AM$ и $BM$ соответственно, точка $O$ — середина отрезка $PQ$. Выберем точку $C$ так, чтобы угол $ACB$ был прямым. Пусть $MD$ и $ME$ — перпендикуляры, опущенные из точки $M$ на прямые $CA$ и $CB$, а $F$ — середина отрезка $DE$. Докажите, что длина отрезка $OF$ не зависит от выбора точки $C$. ( Р. Женодаров )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Существуют ли шесть различных натуральных чисел $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ таких, что справедливо равенство $(a+b+c+d+e+f) : (1/a+1/b+1/c+1/d+1/e+1/f) = 2012$? ( Б. Трушин )
комментарий/решение(1)